Суть и значение магического алфавита

Алистер Кроули

Основная задача книги «777» — создание магического алфавита.

Одно из самых серьезных затруднений, с какими только сталкивается ученик, — затруднение, лишь усугубляющееся по мере того, как возрастают его познания, — заключается в следующем: он видит, что не способен составить сколько-нибудь внятное представление о значениях терминов, которые использует постоянно. Каждый философ вкладывает в них свой собственный смысл (даже в такие общеупотребительные термины, как «душа») и в большинстве случаев попросту не подозревает, что другие авторы употребляют эти термины в каком-то ином смысле. Даже авторы практических пособий и специалисты, дающие себе труд определить термины, прежде чем их использовать, слишком часто расходятся друг с другом в своих определениях. В нашем примере со словом «душа» разброс значений огромен. Одни обозначают этим словом Атмана — безличный принцип, почти синонимичный Абсолюту (в последнее слово, между прочим, тоже вкладывали десятки различных смыслов). Другие — личную душу, индивидуальную и не тождественную сверхдуше или Богу. Третьи называют душой Нешаму — Понимание, умопостигаемую сущность человека, его устремление к высшему; еще иные подразумевают под этим словом Нефеш — животную душу, часть сознания, соответствующую чувственному восприятию. Некоторые даже именуют душой Руах, который в действительности представляет собою всего лишь механизм мышления. А помимо этих основных значений, у слова «душа» обнаруживаются еще сотни тонких оттенков смысла. В результате один автор определяет душу как A, B и C, а его ученый собрат яростно возражает, что она — ни то, ни другое и ни третье, тогда как на самом деле эти двое могут, сами того не подозревая, говорить об одном и том же, хоть и на разных языках.

Предположим на секунду, что каким-то чудом нам удалось составить четкое и ясное представление о значении одного термина. Но и тут неприятности не заставят себя долго ждать: тотчас же возникнет вопрос о том, как этот термин взаимосвязан с другими. Попыток выстроить внутренне согласованную систему предпринималось не так уж много; а те связные системы, что уже существуют, остаются неизученными.

Перед лицом подобного эвроклидона1 недоразумений становится очевидно, что необходимо создать некий основополагающий язык. Я это осознал, когда мне не исполнилось еще и тридцати. Много путешествуя по миру, я сталкивался с носителями всевозможных религиозных и философских воззрений; и чем больше я узнавал, тем безнадежнее запутывался. Я понял и не без горечи подтвердил известные слова, вырвавшиеся в старости у Фихте: «Если бы мне пришлось еще раз прожить свою жизнь, первое, что я бы сделал, — изобрел бы новую символическую систему для выражения своих мыслей». Между прочим, некоторые люди, и не последним из них — Раймонд Луллий, действительно брались за этот великий труд.

В 1904 году я обсудил эту проблему с бхикку Анандой Меттеей (Аланом Беннетом). Он заявил, что терминология буддизма его совершенно устраивает. Но я не мог с ним согласиться. Во-первых, для среднего европейца все эти слова чудовищно, невообразимо длинны. Во-вторых, для того, чтобы понять эту систему, требуется безоговорочно принять для себя буддийское учение. В-третьих, что бы там ни утверждал мой досточтимый коллега, на мой взгляд эти термины далеко не так ясны и универсальны, как хотелось бы. Слишком уж много в них буквоедства, путаницы и спорных положений. В-четвертых, эта терминология крайне субъективна. В ней не находится места небуддийским идеям, и ей нет никакого дела до устройства мироздания в целом. Можно было бы дополнить ее индуистскими терминами, но тогда мы сразу же погрязнем в противоречиях. Начнутся дискуссии о том, имеем ли мы право считать ниббану нирваной2 и так далее, до бесконечности.

Система каббалы, на первый взгляд, страдает тем же недостатком. Но в истинной своей основе она абсолютно разумна и надежна. Можно без колебаний отбросить догматические толкования, нагроможденные раввинами, и попросту начать соотносить все сущее во Вселенной с отвлеченными числами, организованными в систему, — символами, которые совершенно ясны рациональному уму и для каждого означают в точности одно и то же. Более того, взаимосвязи между этими символами по природе своей неизменны. Никому и в голову не придет (в большинстве обычных обстоятельств) дискутировать о том, имеем ли мы право считать сорок девять квадратом семи или нет.

Вот такого рода соображения и побудили меня положить в основу магического алфавита Древо Жизни. Десять чисел и двадцать две буквы еврейского алфавита с их традиционными и рационально объяснимыми соответствиями (и с учетом их арифметических и геометрических взаимосвязей) предоставляют нам внутренне связную и системно организованную основу для дальнейших строительных работ, достаточно прочную, чтобы послужить надежным фундаментом, и достаточно гибкую, чтобы вместить всю необходимую надстройку.

Однако не следует полагать, будто нам известно что-либо о Древе a priori. И не следует стремиться к сокровенной Истине иного рода, нежели та, что заключена в природе самих этих символов как таковых. Фактически, цель нашей работы должна сводиться к тому, чтобы выявить сущность и свойства каждого символа. Нам предстоит облечь математическую наготу каждой простейшей идеи в пестрое платье соответствий, относящихся ко всем возможным областям человеческой мысли.

Поэтому наша первая задача — понять, что мы подразумеваем под самим словом «число». И я справился с нею в своем комментарии к 4-му стиху главы I «Книги Закона»: «Каждое число — бесконечность: различий нет»3.

Ученику следует самым основательным образом осмыслить проблему трансфинитных чисел. Пусть обратится — с уважением, но не без критичности — ко «Введению в математическую философию» достопочтенного Бертрана Рассела. Концепция алеф-нуля4, рассмотренная в свете моих заметок о числе, поможет ему составить достаточно ясное представление о парадоксах, присущих магическому истолкованию идеи числа и, в особенности, уравнению 0=2, при помощи которого я объясняю устройство вселенной и разрешаю противоречия, обнаруживающиеся в ней буквально на каждом шагу.

Наши нынешние представления еще очень далеки от совершенства. Так, например, составить ясное понятие обо всех простых числах невозможно попросту потому, что количество их равняется алеф-нулю.

Числа от 0 до 10, лежащие в основе десятичной системы, можно представить как некий микрокосмический образ алеф-нуля. Ибо они предполагают бесконечность: Десять символизирует возвращение к Единице при помощи Нуля, который вводится здесь для того, чтобы продолжить числовой ряд. При этом запись последующих чисел постепенно становится все более и более сложной. Начиная с 10, каждый член натурального ряда не только обозначает себя самого во взаимосвязи с соседними числами, но и представляет собой сочетание двух или более чисел из первой десятки. Рано или поздно мы достигаем чисел, все делители которых (за исключением единицы) больше десяти, — как, например, число 143 = (11 х 13). Но это только кажется, что подобные числа уже никак не связаны с первым десятком. И даже каждое простое число — тоже своего рода развитие одного или нескольких чисел первого десятка5. По крайней мере, для непосредственных целей настоящего исследования это можно условно принять как данность. А к такому числу, как, например, 3299 х 3307 х 3319, можно относиться как к некой далекой и не особенно важной группе звезд. (К примеру, 13 — это «средний коэффициент», а 111 — «большой коэффициент» Единицы6. Поэтому производные чисел 13 и 111 раскрывают значение других своих сомножителей в свете одного из этих частных проявлений идеи Единства. Например, число 26 = 2 х 13 означает Двоицу в более специализированном смысле, чем само число 2; а число 888 описывает функции числа 8 с точки зрения смысла, заключенного в числе 111, которое само по себе представляет подробное описание сути Единицы, включающее — среди прочего — догмат о тайне, сокрытой в равенстве 3=1.)

Из вышеизложенного следует, что любое большее число, связанное с каким-либо из чисел от 0 до 10, выражает расширенную идею последнего. И это расширенное понимание необходимо сразу же включать в наши представления об исходном числе. Например, обнаружив, что 120 делится на 5, мы впредь должны думать о числе 5 как о корне тех идей, которые мы находим в числе 120, а прежние свои представления о числе 5 использовать как ключ к изучению числа 120.

На первый взгляд может показаться, что такой метод ведет лишь к накоплению противоречий и неизбывной путанице; но разуму, от природы ясному и приученному к аналитической работе, подобная беда не грозит. Напротив, по мере терпеливого повторенья (каковое есть мать ученья) таких упражнений, мы обретаем способность осмысленно воспринимать и связно классифицировать гораздо более обширные массы фактов, чем можно усвоить путем обычного запоминания, пусть даже самого усердного. Психологию усвоения фактов прекрасно объяснил Герберт Спенсер. О степени совершенства любого ума (понимаемого здесь просто как хранилище информации) можно судить по его способности выстраивать для себя любые приобретенные факты в систему, классифицируя их и распределяя по группам и подгруппам.

Наша попытка построения магического алфавита, в сущности, представляет собой распространение вышеописанной системы чисел на бесконечность — как путем углубления, так и путем расширения. С одной стороны, все мыслимые идеи сводятся посредством последовательных объединений и отождествлений к отвлеченным числам от 0 до 10, а затем — к 2, 1 и 0. С другой стороны, значения чисел 0, 1 и 2 распространяются путем последовательных уточнений и определений на все идеи, какие только могут встретиться во Вселенной.

И вот теперь мы, наконец, получаем возможность рассмотреть, как эта система работает на практике. Каждое из чисел от 0 до 10 на Ключевой шкале обозначает основополагающую идею некой совокупности подлинно сущих объектов. Содержание этой идеи определяется соответствиями, которые приписываются ей в остальных столбцах. Так, можно сказать, что идея числа 8 заключает в себе бога Ханумана, шакала, опал, стиракс, правдивость и так далее.

Что касается чисел Ключевой шкалы от 11 до 32, то они не являются числами в принятом нами здесь смысле этого слова7. Составитель «Сефер Йецира» произвольно распределил их по двадцати двум путям8.

Более того, они даже отдаленно не гармонируют с идеями синонимичных им отвлеченных чисел: трудно представить себе нечто более далекое от идеи числа 29, нежели знак Рыб. Основополагающими идеями строк с 11-й по 32-ю разумнее было бы считать буквы еврейского алфавита, которые очень точно и наглядно согласуются с понятиями, представленными в остальных столбцах, и, в частности, с такими достаточно универсальными символами, как Старшие арканы Таро. (Отметим, что в некоторых алфавитах, особенно в коптском, количество букв превышает 22. В подобных случаях лишние символы помещаются в строках, соответствующих сефирот.) Что касается числовых значений букв, то связи их с понятиями из остальных столбцов не подлежат сомнению и весьма важны. Но эти числовые значения не вполне аналогичны тем изначальным числам, которыми обозначаются десять сефирот. Например, несмотря на то, что Бет = 2 = Меркурий, а Меркурий, в свою очередь, входит в понятие Хокмы = 2, две эти двойки не тождественны друг другу. Ибо Меркурий сам по себе — не сефира. Он не входит в число эманаций, образующих естественную последовательность от 0 до 10. Бет — это всего лишь путь, соединяющий Кетер и Бину (числа 1 и 3). Схожим образом, Зайин = 7 — путь, соединяющий Бину (3) и Тиферет (6). Одним словом, они представляют собой не числа, а выражения взаимосвязей между числами в рамках заранее заданной геометрической структуры.

Чрезвычайно важную роль играет еще один класс чисел, а именно — последовательность Старших арканов Таро, которые обычно обозначаются римскими цифрами. Если пронумеровать их в естественном порядке от 1 до 22, то, за двумя исключениями, они окажутся в точном соответствии с порядком букв еврейского алфавита9. Эти числа относятся почти к тому же порядку идей, что и числовые соответствия букв, но описывают не столько сущностный характер числа, сколько его активную магическую энергию.

Возвращаясь к чистым сефирот, отметим, что числа 0, 1, 2, 3, 5 и 7 являются простыми, а остальные — их произведениями. Таким образом, уже на этом базовом уровне мы обнаруживаем принцип равновесия между простым и сложным. При этом составные числа обладают некими исконными свойствами, которые не позволяют рассматривать их всего лишь как произведения простых сомножителей. Число шесть — это самоценная идея, «Ding an sich»10. Тот факт, что число 6 может быть получено путем умножения 2 на 3, представляет собою лишь одно из его свойств. Схожие соображения применимы и к числам больше 10, но здесь простые числа начинают далеко превосходить составные по важности. К настоящему времени нам известно не так уж много составных чисел, смысл которых не исчерпывается значениями их математических компонентов. В качестве примеров можно привести числа 93, 111, 120, 210, 418 и 666. Но каждое простое число выражает некую совершенно определенную и самостоятельную идею. Например, 19 — символ женского начала вообще; 31 — высшая женская троица, «большой коэффициент» Нуля11; 41 — женский принцип как вампирическая сила, 47 — он же, но в образе подвижного и сокращающегося лона, 53 — как источник наслаждения, 59 — как йони, требующая своего дополнения, и так далее.

Каждое простое число сохраняет свое особое значение во всех кратных ему числах. Так, число 23, символ жизни, помноженное на 2, дает 46, означающее жизнь Двоицы, и так далее. Значения простых чисел проработаны аккуратно и достаточно точно в каждом отдельном случае вплоть до числа 97. Из простых чисел больше 100 тщательно исследовано лишь несколько. Это объясняется тем, что наши нынешние методы позволяют изучать значение простых чисел только через числа, кратные им. Так, если мы хотим понять природу числа 17, мы должны исследовать ряд чисел 34, 51, 68 и т.д. и понять, какие слова и понятия им соответствуют. 51 относится к 34, как 3 к 2. Опираясь на то, что нам известно о числах 3 и 2, мы можем установить, какое влияние оказывает на них коэффициент 17. Приведем пример для ряда с другим делителем: 82 — это число Ангела Венеры, означающее также некую любимую вещь; 123 символизирует войну, мор, удовольствие и насилие; а 164 заключает в себе идею «прилепления» и, кроме того, подразумевает мирское как противоположность священному. Общий элемент всех этих понятий — идея опасной притягательности; из чего мы делаем вывод, что 41, наибольший общий делитель всех рассмотренных чисел, означает вампира12.

Но подобным рассуждениям, способным приумножать количество букв нашего магического алфавита до бесконечности, не место в настоящем очерке. Наша главная задача — найти как можно более удобное средство для выражения идей. И если мы будем метить слишком высоко, то упустим ее из виду. На практике совершенно достаточно традиционной шкалы из тридцати двух путей — десяти чисел и двадцати двух букв. Единственное, чем их необходимо дополнить, — это Завесы Небытия, ибо они суть неотъемлемый и важнейший элемент в структуре Древа, представленной на чертеже. Но эти Завесы оказываются полезны лишь в немногих перечнях реальных объектов.

Кроме того, приходится дважды использовать числа 31 и 32, поскольку значение буквы Шин разветвляется в двух различных направлениях, одно из которых связано со Огнем, а другое — с Духом. Так же обстоит дело и с буквой Тав, соответствующей одновременно планете Сатурн и стихии Земли. С теоретической точки зрения, это крупный недостаток для системы в целом. Но традиционные соответствия столь многочисленны и определенны, что исправить этот изъян не представляется возможным. На практике же эта теоретическая путаница не причиняет никаких заметных неудобств.

Еще одно затруднение возникло в связи с открытием двух новых планет — Нептуна и Урана. Однако мы попытались превратить проблему в преимущество, включив их, наряду с Перводвигателем, в схему распределения планет по Древу Жизни. И наша уловка себя оправдала: нам удалось построить идеально симметричную систему обителей и экзальтаций планет в знаках зодиака13.

В заключение остается добавить, что здесь, как и в большинстве других дисциплин, успех приходит благодаря близкому знакомству с системой, добиться которого можно только путем ежедневной практики.

Значения простых чисел от 11 до 97
11. Общее число магии, или энергии, склонной к изменению.
13. Число наивысшего женского единства; легко преображается во вторичные мужские идеи посредством добавления любого мужского компонента; или же единение, проистекающее из любви.
17. Мужское единство (троица Алеф-Вав-Йод).
19. Женский символ.
23. Символ нарождающейся жизни.
29. Магическая сила как таковая, мужской поток.
31. Наивысшая женская троица — окружность, истолкованная как нуль.
37. Само единство в своем уравновешенном троичном проявлении.
41. Бесплодная йони как вампирическая сила.
43. Число оргазма, в особенности мужского.
47. Подвижное, цепкое, сокращающееся лоно. Дух родовых схваток.
53. Йони как орудие наслаждения.
59. Йони, взывающая к лингаму; яйцеклетка, растворитель или щелочь.
61. Небытие, считающее себя бытием.
67. Материнское лоно, заключающее в себе двойню.
71. Число Бины. Образ пустоты и безмолвия как достижения цели устремлений.
73. Женский аспект Хокмы в ее фаллической функции.
83. Освящение; наивысшая форма любви; энергия, свобода, амрита, устремление. Корень идей романтики и религии.
89. Число греха — ограничения. Извращенный вид молчания — тот, что присущ Черным Братьям.
97. Число Хесед как воды и отца.

Что такое каббала?
Каббала — это:
а) язык, приспособленный для описания определенных классов явлений и выражения определенных классов идей, с которыми не в состоянии справиться язык повседневной речи. Возражать против подобного языка — все равно, что возражать против специальной терминологии, принятой в химии;
б) гибкая и чуждая сектантству терминология, дающая возможность проводить параллели между мыслительными процессами разных людей, мнимые расхождения между которыми объясняются всего лишь особенностями речевого выражения. Возражать против подобной терминологии — все равно, что возмущаться словарем или трактатом по сравнительному религиоведению;
в) символическая система, позволяющая философу формулировать свои мысли с абсолютной точностью и находить простое выражение сложным идеям, в особенности таким, в которых сводятся воедино некие разнородные понятия. Возражать против нее — все равно, что протестовать против алгебраических символов;
г) инструмент истолкования символов, значение которых стало неясным, исказилось или забылось. Он помогает установить объективные связи между сутью форм, звуков и простых понятий (таких, как идея числа), с одной стороны, и духовными, нравственными или интеллектуальными их эквивалентами — с другой. Возражать против такого подхода — все равно, что оспаривать правомерность интерпретации древних произведений искусства в свете зависимости критериев красоты от физиологических фактов;
д) система классификации единообразных понятий, помогающая мыслителю расширить свой словарь мыслей и фактов путем их организации и взаимного соотнесения. Возражать против нее — все равно, что отрицать важность мнемонических знаков в арабском языке;
е) инструмент для последовательного продвижения от известного к неизвестному, осуществляемого на основе тех же принципов, что и в математике. Возражать против него — все равно, что отказываться от употребления V-1, х4 и так далее;
ж) система критериев, позволяющая проверять истинность соответствий и тем самым оценивать новые открытия в свете их согласованности со всем сводом известных истин. Возражать против такой системы — все равно, что отрицать саму возможность судить о характере и социальном положении человека по его образованию и поведению в обществе.

Что такое «число» или «символ»?
В «Книге Закона», I, 414 дается определение слову «число». Возможно, суть этого определения станет яснее, если мы рискнем перефразировать указанный стих. Первая его часть, «каждое число — бесконечность», на первый взгляд кажется внутренне противоречивой. Но это недоразумение возникает лишь потому, что мы привыкли понимать число не как вещь в себе, а всего лишь как некий объект в ряду однородных единиц. Эта концепция заложена во всех определениях, на которые опирается традиционная математическая аргументация. К примеру, никто не ставит под сомнение тождество двух таких выражений, как «2 плюс 1» и «1 плюс 2». Но «Книга Закона» предлагает принципиально иной взгляд на саму природу числа.

В математике существует понятие так называемого континуума, отличного по характеру (по крайней мере, на первый взгляд) от континуума физического. В физическом континууме глаз без труда отличает палочку длиной в один дюйм, от палочки длиной в два дюйма; но отличить объект длиной в тысячу миль от объекта длиной в тысячу миль и один дюйм он уже не способен, несмотря на то, что в обоих случаях разница составляет ровно один дюйм. Эта разница в один дюйм может быть как ощутимой, так и неощутимой — в зависимости от обстоятельств. Далее, глаз в состоянии отличить палочки длиной в один и два дюйма, с одной стороны, от палочки длиной в полтора дюйма — с другой. Но продолжать этот процесс сколь угодно долго нам не удастся: рано или поздно мы достигнем этапа, на котором две крайности будут еще отличимы друг от друга, но средняя точка между ними окажется неотличимой от них обеих. Если обозначить три эти объекта как А, В и С, то в физическом континууме А будет казаться равным В, а В — равным С, но при этом С будет зрительно больше, чем А. Здравый смысл подсказывает, что полагаться на подобные выводы невозможно: наше восприятие слишком грубо. Изобретать инструменты, повышающие точность наблюдений, бесполезно: даже если они и помогут нам провести различия между тремя объектами нашего ряда и восстановить теоретическую Иерархию, в ходе последующего членения на все более мелкие доли мы рано или поздно придем к ряду А’, B’ и C’, в котором A’ и C’ будут отличимы друг от друга, но ни А’, ни C’ невозможно будет отличить от B’.

Ввиду вышеописанной проблемы современные мыслители попытались разграничить понятия математического и физического континуумов, хотя остается очевидным, что это затруднение объясняется лишь изъяном наших органов чувств, не позволяющим нам постичь истинную природу вещей методом наблюдения.

Но в математическом континууме последовательное деление и нахождение среднего между любыми двумя математическими выражениями можно продолжать сколь угодно долго, не нарушая единообразия самого процесса и не попадая в ситуацию, в которой какие-либо два объекта окажутся неотличимыми друг от друга. Более того, математический континуум включает в себя не только целые числа, но и числа иного рода, которые, так же как и целые, выражают взаимосвязи между некими реально существующими идеями, но не поддаются измерению в категориях целых чисел. Эти числа иного типа образуют свой собственный континуум, вложенный в континуум целых, но не соприкасающийся с ним, не считая чисто случайных пересечений.

Например: тангенсы углов между двумя лучами, последовательно расходящимися от совпадения к перпендикуляру, столь же последовательно возрастают от нуля до бесконечности. Но целое число в ряду этих тангенсов обнаруживается только одно — единица, соответствующая углу в 45°.

Фактически, можно построить бесконечное множество таких рядов, и каждый из них будет обладать качеством бесконечной делимости. Девяносто углов, полученных с шагом в один градус на промежутке от 0 до 90°, дают нам девяносто тангенсов. Если мы уменьшим шаг в шестьдесят раз и вычислим тангенсы не для каждого градуса, а для каждой угловой минуты, то тангенсов в нашем ряду станет в шестьдесят раз больше. Аналогичным образом каждую угловую минуту можно разделить на шестьдесят секунд, и количество тангенсов вновь возрастет в шестьдесят раз. И так далее, до бесконечности.

Все эти рассуждения основаны на предпосылке, согласно которой каждое число есть всего лишь выражение неких отношений. Новая концепция, представленная в «Книге Закона», никоим образом не противоречит этому традиционному взгляду, но дополняет его соображениями, чрезвычайно важными с практической точки зрения. Статистик, подсчитывающий уровень рождаемости в восемнадцатом веке, не считает нужным особо упомянуть о рождении Наполеона. Это не обесценивает его работу, но наглядно показывает, сколь ограничен подобный подход даже по критериям его собственной науки: ведь рождение Наполеона повлияло на уровень смертности гораздо сильнее, чем любой из факторов, традиционно учитываемых в статистических расчетах.

Здесь нам придется сделать небольшое отступление. Возможно, еще не все об этом знают, но факты таковы, что математика и физика озабочены отнюдь не абсолютной истиной, а всего лишь отношениями между наблюдаемыми явлениями и наблюдателем. Утверждение о том, что скорость свободно падающего тела возрастает на тридцать два фута за одну секунду, — в лучшем случае лишь грубейшее приближение. Как известно большинству читателей, на Луне ускорение свободного падения в шесть раз меньше, чем на Земле. Но даже и на Земле оно существенно различается на полюсах и на экваторе и, более того, изменяется под влиянием столь малозначительных объектов, как, например, расположенная поблизости гора.

Столь же неточным следует признать само понятие «повторяемости» эксперимента. Воспроизвести одинаковые условия дважды невозможно. Невозможно дважды вскипятить одну и ту же воду. При повторном кипячении вода будет уже другой, да и наблюдатель изменится. Человек, заявляющий, будто он сидит неподвижно, забывает о том, что на самом деле он с головокружительной скоростью мчится по просторам космоса.

Не исключено, что именно такого рода соображения в свое время навели ученых на мысль, что бесполезно искать истину в чем бы то ни было, кроме математики. При этом они опрометчиво решили: раз ее законы непреложны, значит, они не могут противоречить истине. Но они упустили из виду то обстоятельство, что вся математика — такая же чистая условность, как правила игры в шахматы или в баккара. Утверждая, что «двумя прямыми линиями невозможно очертить замкнутое пространство», мы имеем в виду, что попросту не можем представить себе, как это сделать. Следовательно, истинность этого утверждения зависит от того, принимаем ли мы за высшее мерило истины собственный разум. А между тем встречаются безумцы, глубоко убежденные, что их преследуют некие таинственные враги. Однако эта их убежденность еще не дает нам оснований им верить. И нет смысла возражать, что математические истины, в отличие от бреда безумца, общепризнанны, — потому что это неправда.

Чтобы убедить хотя бы немногих учеников в истинности геометрических теорем, пусть даже самых простых, требуется сложная и утомительная работа. А тех, кто убежден в истинности более сложных математических выводов (таких, например, как результаты математического анализа) или хотя бы просто знает об их существовании, и вовсе считанные единицы. Возражение, сводящееся к тому, что путем достаточно серьезного обучения можно было бы убедить всех поголовно, легко опровергается вопросом: а где гарантия, что подобное обучение не извращает ум ученика?

Но даже если вынести все эти предварительные соображения за скобки, мы столкнемся с тем фактом, что любое высказывание по самой природе своей есть всего лишь заявление о неких соответствиях между некими идеями. В выбранном нами примере фигурируют пять идей: идеи двойственности, прямизны, линии, замкнутости и пространства. И все это — не более чем идеи. Каждая из них остается бессмысленной до тех пор, пока мы не определим ее через те или иные соответствия с какими-либо другими идеями. Для того, чтобы определить какое-либо слово, необходимо отождествить его по меньшей мере с двумя другими словами, которые, в свою очередь, также будут нуждаться в определении. Попытка дать определение из одного-единственного слова очевидным образом породит тавтологию. Таким образом, мы неизбежно приходим к выводу, что любое исследование сводится к obscurum per obscurium15. Рассуждая логически, дело обстоит еще хуже. Допустим, мы определяем А как ВС, где В есть DE, а С есть FG. В результате количество неизвестных величин растет в геометрической прогрессии на каждом шагу, но даже не это главное. Главное — то, что рано или поздно мы неизбежно дойдем до некоего пункта Z, определить который не удастся без обращения к термину А. В порочный круг замыкается не только любая дискуссия, но и предваряющий любую дискуссию процесс определения терминов.

Ввиду вышесказанного может сложиться впечатление, что рассуждать и делать какие-либо выводы вообще невозможно. Но это верно лишь в вопросе о том, какую ценность имеют наши высказывания в конечном счете. На практике же мы смело можем утверждать, что вода закипает при 100 градусах Цельсия16, — несмотря на то, что утверждение, будто вода всегда закипает при одной и той же температуре, ошибочно со строго математической точки зрения, а сам термин «вода» с точки зрения логики остается непостижимой тайной.

Но вернемся к нашей, с позволения сказать, аксиоме: «Двумя прямыми линиями невозможно очертить замкнутое пространство». Одно из важнейших открытий современной математики заключается в том, что это утверждение — вовсе не абсолютная истина (даже если признать определения всех использованных в нем терминов сугубо относительными). С точки зрения здравого смысла оно так же ошибочно, как и заявление о неизменности точки кипения воды. Больяй, Лобачевский и Риман17 убедительно доказали, что непротиворечивую систему геометрии можно построить на основе любой произвольно взятой аксиомы. Если предположить, что сумма внутренних углов треугольника больше или меньше суммы двух прямых углов, а не равна ей, то можно построить сразу две новые геометрические системы, внутренне полностью непротиворечивые, — и у нас не будет ни малейшей возможности понять, какая же из них истинна.

Проиллюстрирую это положение простой аналогией. Возьмем такое обычное выражение, как, например, «Мы едем из Франции в Китай». Форма этого выражения подразумевает, что упомянутые страны стоят на месте, а мы перемещаемся. Но сам факт, о котором мы говорим, с равным успехом можно было бы описать иначе: «Франция нас покидает, а Китай приходит к нам». Ни в том, ни в другом случае об абсолютном движении нет и речи: движение Земли в космическом пространстве в расчет не принимается. Используя привычные выражения, наподобие вышеприведенного, мы бессознательно подразумеваем некую стандартную точку покоя, которой, как известно, в действительности не существует. Утверждая, что стул, на котором я сижу, на протяжении последнего часа оставался в покое, я имею в виду, что он покоился лишь относительно меня самого и моего дома. Но в действительности за это время он переместился больше чем на тысячу миль вследствие вращения Земли вокруг своей оси и еще примерно на семьдесят тысяч миль — вследствие движения Земли по орбите вокруг Солнца. Все, чего можно ожидать от какого бы то ни было высказывания, — что оно не вступит в противоречие с неким рядом допущений, заведомо ложных и чисто условных. Те, кто никогда не пытался исследовать суть чувственного опыта, ошибочно полагают, будто он дает нам критерии, позволяющие отличить истинную символическую интерпретацию Природы от ложной. Они думают, что евклидова геометрия описывает Природу верно, — на том основании, что, измерив внутренние углы треугольника, можно убедиться на практике, что сумма их действительно равна сумме двух прямых углов, точь-в-точь, как и гласят теоретические выкладки Евклида. Но они забывают, что сами инструменты, используемые для этих измерений, созданы на основе принципов евклидовой геометрии. Иными словами, они отмеряют десять ярдов деревяшкой, о которой не знают ровным счетом ничего, кроме того, что длина ее составляет одну десятую от тех самых десяти ярдов, которые нужно отмерить. Заблуждение налицо. Достаточно даже простейшего рассуждения, чтобы убедиться, что результаты наших измерений зависят от всевозможных условностей. На вопрос «Какова высота столбика ртути в термометре?» мы можем ответить лишь, что это зависит от температуры самого термометра. Фактически, мы судим о температуре по разнице коэффициентов расширения двух нагреваемых веществ — стекла и ртути.

Более того, сами деления на шкале термометра зависят от температуры кипения воды, а эта температура не постоянна. Она зависит от давления земной атмосферы, которое может колебаться (в зависимости от времени и места) с амплитудой более двадцати процентов. Большинство людей, рассуждающих о «научной точности», даже понятия не имеют об элементарных фактах такого рода.

Можно возразить, что, определив ярд как длину (при определенной температуре и давлении) эталонного бруска из хранилища Монетного двора в Лондоне, мы, по крайней мере, получаем возможность измерять длину других предметов путем прямого или опосредованного сравнения с этим эталоном. В грубом приближении так оно и есть. Но если бы длина всех предметов внезапно уменьшилась или увеличилась вдвое, мы бы этого не заметили. То же самое относится и к другим так называемым законам природы. У нас нет возможности даже определить, какое из двух событий произошло раньше, а какое — позже.

Рассмотрим пример. Общеизвестно, что свет от Солнца до Земли доходит приблизительно за восемь минут. Поэтому события, происходящие на Солнце и на Земле одновременно18, кажутся отстоящими друг от друга во времени на восемь минут; а с математической точки зрения, некоторое расхождение во времени имеет место для любых двух объектов, даже если они удалены друг от друга в пространстве всего на несколько ярдов. Ввиду этого обстоятельства, установить с математической точностью, какое из двух событий предшествовало другому во времени, невозможно. Сказать, что рана послужила причиной броска кинжала, будет столь же правомерно, как и заявить обратное. Забавную притчу на этот счет приводит Льюис Кэррол в своей «Алисе в Зазеркалье»19 — которая, кстати сказать, как и предшествующая ей книга, битком набита всевозможными философскими парадоксами20.

А теперь можно вернуться к стиху «Книги Закона»: «Каждое число — бесконечность». Определение числа как элемента математического континуума оказывается совершенно недостаточным; ограничиваться им — все равно, что пытаться описать произведение живописи как номер такой-то по музейному каталогу. Каждое число — вещь в себе21, обладающая бесконечным множеством свойств, присущих только ему одному.

Возьмем для примера числа 8 и 9. 8 — это число кубов со стороной в один дюйм, помещающихся внутри куба со стороной в два дюйма, тогда как 9 — это число квадратов со стороной в один дюйм, помещающихся внутри квадрата со стороной в три дюйма. По этому параметру числа 8 и 9 в некотором роде взаимосвязаны. Прибавив к восьми единицу, мы получим девять; поэтому можно было бы определить единицу как нечто, способное превратить трехмерную развертку двойки в двухмерную развертку тройки. Но если мы прибавим ту же единицу к девяти, то она предстанет перед нами в новом качестве — как нечто, способное превратить вышеупомянутую двухмерную развертку тройки в простой прямоугольник со сторонами 5 и 2. Складывается впечатление, что единица обладает двумя принципиально различными свойствами. Следует ли из этого вывод, что сами единицы, использованные в двух наших примерах, различны? Как описать единицу, как понять ее? Характер ее влияния на любое данное число можно изучить лишь опытным путем. В некоторых отношениях это влияние всегда одинаково — например, нам известно, что прибавленная единица всегда превращает нечетное число в четное и наоборот. Но этим практически исчерпывается все, что мы можем заранее сказать о ее воздействии.

Можно пойти дальше и заявить, что любое число обладает столь же бесконечно разнообразными возможностями влияния на любые другие числа (даже если ограничиться простой операцией сложения). Более того, с любыми двумя произвольно взятыми числами можно про